RDI Integrales

INTEGRALES

DEFINICIÓN DE INTEGRAR

Es la operación inversa de derivar.  Dada una función derivada, integrar es calcula otra función, que al derivarla produce dicha función derivada.

PRIMITIVA

También llamada función integral indefinida, y es la función que al derivarla produce la derivada

NOTACIÓN

Para referirnos a la integral de una función f se utiliza la siguiente notación:

 

Donde:

 f(x) es el integrando

x es la variable de integración

dx indica respecto de que variable se integra

EXISTENCIA DE PRIMITIVA

Si la función F(x) es una primitiva de la función derivada f(x), entonces, también es primitiva, la función primitiva F(x) + k, siendo k un número real constante, porque al derivar F(x) + k el resultado es también la propia f(x) ya que la derivada de una constante es cero, por tanto, al calcular una integral indefinida vamos a añadir una constate k.  Así que, una primitiva en realidad es un conjunto de funciones

 

TABLA DE PRIMITIVAS

Una primera tabla de primitivas la obtenemos a partir de las derivadas:

 

PROPIEDADES O LINEALIDAD DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS

Si f(x) es una función y k es una constante, entonces se cumple las siguientes propiedades

            1.- Aditividad

           

            2.- Homogeneidad

           

INTEGRAL INMEDIATA

Un primer paso para la integración es detectar las integrales inmediatas o que se transforman en inmediatas con manipulaciones sencillas

  

 

  

  

  

  

  

INVERSA DE LA REGLA DE LA CADENA

Si en el integrando aparece g’(f(x))·f’(x), entonces la primitiva es g(f(x)).

 

Esta regla es la “inversa” de la regla de la cadena

INTEGRAL CUASI INMEDIATA
Son aquellas integrales que no son completamente inmediata, pero lo son con sencillas manipulaciones previas

  

  

  

  

  

  

  

  

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRAR POR PARTES

Se suele aplicar cuando el integrando es un producto de funciones y la integral de uno de ellos es inmediata

 

Para aplicar este método se tiene que identificar u’ y v’, que son las derivadas de las funciones u y v. 

La u y la v’ deben elegirse de forma que u sea fácil de derivar y v’ sea fácil de integrar.

Una vez identificadas ambas, se aplica la siguiente fórmula

 

Solo un dia vi a una vaca menos un soldado vestidos de uniforme

  

  

  

CAMBIO DE VARIABLE

En algunos casos la integral sería más inmediata si la variable adoptara una forma más simple.

Esto se aplica a funciones que se derivaron con la regla de la cadena.

Para reducir una integral se hace el cambio de variable t = f(x)

Entonces se sustituye t = x y dt = f’(x)

Al final del proceso se deshace el cambio y el resultado queda como una función de x

  

INTEGRAR EXPRESIONES RACIONALES

Se trata de resolver integrales del tipo P(x) / Q(x) donde el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).

Si el grado de P(x) fuese mayor que el grado de Q(x), se divide, y el resultado r se aplica de la siguiente forma

 

Caso1   Esta integral es un logaritmo neperiano

Caso 2 (donde el denominador no tiene raíces reales)

Operando con el denominador de forma adecuada “completando cuadrados” se reduce la expresión a cuasi inmediata.

Los número c, d y e se han elegido de forma adecuada.

Caso 3 (donde el denominador no tiene raíces reales)

Se puede completar el denominador para reducir a dos integrales, un logaritmo neperiano y un arco tangente

Los número c, d y e se han elegido de forma adecuada.

 

Caso 4 (donde r1 y r2 son las raíces del denominador)

Se factoriza el denominador

Las constantes A y B se encuentran desarrollado la suma de fracciones, igualando los coeficientes de la misma potencia de x y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.

  

  

  

  

INTEGRAR EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS

En casi todas las integrales trigonométricas no inmediata, es útil probar el cambio de variable, que transforma la integral en una función racional.

Las integrales senⁿx cos^mx según sean m y n par o impar

           

            Si n y m son pares se usan las siguientes entidades

 

           

            Si n=2k+1 es impar, se hace

 

  

  

  

INTEGRAL DEFINIDA

El problema planteado es calcular el área comprendida entre la gráfica de una función, el eje x y las rectas verticales de x=a y x=b

 

Una aproximación se puede obtener dividiendo esta área en rectángulos (por debajo o por encima de la gráfica de f(x)) de base cada vez menor, y calculando el área de cada uno de ellos y sumando todas las áreas.

 

La integral definida es exactamente el área comprendida entre la gráfica de una función, el eje x y las rectas verticales de x=a y x=b

 

LÍMITE DE INTEGRACIÓN

La diferencia formal obvia entre integrales definidas e indefinidas es que las definidas tienen límites de integración, que no son más que los números indicados a la derecha del símbolo de integración “arriba” y “abajo”.  Aunque están muy relacionadas entre ellas, la principal diferencia es:

            La integral definida da como resultado un número que es el área de la gráfica de una función entre dos límites

            La integral indefinida da como resultado un conjunto de funciones cuya derivada es el integrando.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo precisa la relación entre el concepto de derivada y la integral, revelando que derivación e integración son procesos inversos.

Consideramos una función f(x) continua en su dominio, un intervalo cerrado [a, b], y un punto x dentro del dominio o intervalo. Consideramos también la siguiente función A(x) definida de siguiente forma:

 

                                                      Esto se lee: A de x es la integra entre a y x de f de t, diferencia de t

La función A(x) solo depende de la variable x, que varía entre los puntos a y b, y no tiene nada que ver con la variable t que es la variable del integrando.    Si x toma un valor fijo, entonces la integral será definida y la función A(x) tendrá un valor bien definido. Si x varía entonces la integral también varía y entonces define a una función de x.

A la función A(X) se le conoce como función integral o función de Acumulación y es el área de debajo de la gráfica de la función f(x) comprendida entre el punto a y el punto x

La pregunta es si A(x) tiene derivada. Partiendo de:

 

Vamos a ver el cociente incremental A(X) :

 

Tenemos que la integral desde a hasta el incremento de x:

 

Por lo que podemos decir entonces, que el cociente incremental de x es igual:

 

Si al área incrementada de x que va desde a hasta el incremento de x, le restamos el área que va desde a hasta x, nos queda solo el área que va desde x hasta el incremento de x

 

Por lo tanto, tenemos que

 

Dado que la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [x, x+ x] por ser la función f(x) continua en el intervalo cerrado [a, b] que contiene al intervalo anterior, podemos decir que existe un punto c, dentro de [x, x+ x] de tal manera que el rectángulo de altura f(c) y base x, x+ x será igual a la integral de f(x) entre x y x+ x. La existencia del punto c esta avalada por el teorema del valor medio para integrales. Esto se escribe simbólicamente como:

Así que

 

Ahora para hallar la derivada de A con respecto del cociente de x consideramos el límite del incremento de A sobre el incremento de x tiende a 0

Hacer tender el punto x a cero es lo mismo que hacer tender el punto x a x y por tanto, es hacer tender c a x. De esta manera el límite anterior lo podemos escribir como el límite de f de c cuando c tiende a c y por ser f continua en su intervalo, tenemos que la derivada de A(x) es igual a f(x), que es la función que se está integrando

Este resultado dice simplemente que derivación e integración son procesos inversos y podemos escribir que:

EN RESUMEN…

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y sea A(x) la función integral definida por:

 

Entonces, la función A(x) es derivable y su derivada en cualquier punto del intervalo cerrado [a, b] es f(x).

 

Es decir, una vez que la integración la derivación han hecho su trabajo, dan como resultado una función, que es la función de partida f(X)

REGLA DE BARROW

Consiste en resolver la integral definida como una integral indefinida, y el resultado se pone entre corchetes sin la constante, y en el corchete de cierre se ponen los índices de la integral definida. Luego se sustituye el índice de arriba de la integral definida en la integral indefinida y se resuelve, y luego se hace lo mismo con el índice de abajo, para finalizar al resultado de arriba, se le resta el resultado de abajo y listo.