RDM Repaso de matrices

Matrices

DEFINICIÓN DE MATRIZ

Un matriz es un objeto compuesto por filas y columnas, y cada uno de sus elementos es una intersección de una fila y una columna, y están entre paréntesis. 

Las matrices se utilizan para operar con un conjunto de números, de la misma manera que se opera con números simples.

Para designar la posición de los elementos de forma generalizada se coloca una letra a y dos subíndices, donde el primero indica la fila y el segundo indica la columna

 

ORDEN DE LA MATRIZ

El orden, dimensión o tamaño de una matriz es el número de filas por el número de columnas.

A = 3 x 2   es decir, 3 fila por 2 columnas total 6 elementos

MATRIZ REAL

Es aquella matriz que todos sus elementos pertenecen al conjunto de los números reales.

MATRIZ FILA

Es una matriz con una sola fila y n elementos

MATRIZ COLUMNA

Es una matriz con una sola columna y n elementos

MATRIZ CUADRADA

Tiene el mismo número de filas que de columnas.

            La diagonal principal empieza en el primer elemento a₁₁ y sigue siguiendo la diagonal hasta el a_ij

                La suma de los elementos de la diagonal se llama TRAZA.

           

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Es una matriz cuadrada, donde todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentra encima de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ SIMÉTRICA

Es aquella que sus elementos son simétricos con respecto a la matriz principal

MATRIZ ANTISIMÉTRICA O HEMISIMÉTRICA

Son aquellas matrices que cumplen los siguientes requisitos:

            1.- Que la diagonal principal sean todos ceros

2.- Todos los elementos son simétricos con respecto a la diagonal principal, y uno de ello es de signo opuesto.

MATRIZ DIAGONAL

Es aquella matriz que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son 0 y que en la diagonal principal tiene al menos un elemento distinto 0

MATRIZ IDENTIDAD

Es aquella que todos los elementos de la diagonal principal =1 y el resto de los elementos =0

MATRIZ NULA

Es aquella que todos sus elementos son ceros

MATRIZ OPUESTA

Es aquella matriz que tiene sus elementos con signo opuesto a una matriz dada

MATRIZ TRASPUESTA

Es la matriz que tiene por filas, las columnas de la matriz de origen y por columnas las filas de la matriz de origen.

MATRIZ ESCALONADA

Es aquella que cumple las siguientes dos condiciones:

            1.- Toda fila tiene más cero iniciales que la fila anterior

            2.- las filas que todos sus elementos son cero, si es que las hay, tienen que estar al final.

La matriz escalonada no es única

MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA

Es aquella que además de ser escalonada, tiene que cumplir estas otras dos condiciones:

            1.- Todos los pivotes son 1

            2.- En las columnas donde hay un pivote el resto de elementos son ceros

 

La matriz escalonada reducida es única

SUBMATRIZ

Es cualquier matriz formada con los elementos de una matriz mayor

OPERACIONES

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Para sumar o restar dos matrices, las dos matrices tienen que tener el mismo orden.

Se suman o resta cada elemento con su elemento correspondiente.

PROPIEDADES: Conmutativa, Asociativa, Elemento Neutro y Elemento Opuesto

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL

Se multiplica cada elemento por el número real.

PROPIEDADES: Distributiva con respecto a la suma de matrices, Distributiva con respecto a la suma de reales, Asociativa con respecto a los reales y elemento unidad.

PRODUCTO DE DOS MATRICES

1.- El producto de dos matrices no es conmutativo 

2.- Para poder realizar el producto se tiene que dar que el número de columnas de A tiene que ser igual que el número de fila de B, es el llamado COFI y el resultado será una matriz cuyo número de filas será igual al número de filas de A y el número de columnas será igual al número de columnas de B

A = 3 x 2 y B = 2 x 4 y la matriz resultante será C = 3 x 4

PROPIEDADES:

Propiedad asociativa                (A · B) · C = A · (B · C)

Propiedad distributiva   A · (B + C) = A ·B + A · C

Elemento neutro                       I · A = A · I= A

PROCEDIMIENTO PARA MULTIPLICAR

Se multiplica filas por columna, y se multiplica el primero de la fila por el primero de la columna, luego el segundo de la fila por el segundo de la columna, etc, luego se suman los diferentes resultados y tendríamos un elemento de la matriz solución.

POTENCIA DE UNA MATRIZ

Es el producto de una matriz cuadrada por si misma tantas veces como indique el exponente.  Solo se puede elevar a una potencia una matriz cuadrada.

OPERACIONES O TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

Son operaciones elementales con las filas de una matriz, que nos permite modificar la matriz, para obtener una matriz escalonada o la inversa de la matriz.

            1.- Intercambiar filas

                        Se puede cambiar el orden de las filas

      

                  

            2.- Multiplicar una fila por un número

                        Se puede multiplicar una fila por un número

            

            3.- Sumar otra fila multiplicada

                        Se multiplica una fila por un número, la fila resultante se le suma a otra fila de la matriz

ESCALONAR

Es hacer ceros, utilizando las operaciones elementales por filas.

RANGO DE UNA MATRIZ

Es el número de filas o columnas linealmente independientes.  Por dimensiones, se puede saber cuál puede ser el rango máximo, y es menor número de comparar filas y columnas.

A= 3 x 2 el rango máximo puede ser 2   B= 4 x 5   el rango máximo puede ser 4   C= 3 x 3 pues 3

El rango se puede calcular al escalonar una matriz, al hacer ceros, y es igual al número de filas que no son nulas.  Una vez que se escalona con las operaciones elementales, el rango se queda invariable

El rango de una matriz también se puede calcular a través del determinante.

MATRIZ INVERSA

Sea A una matriz cuadrada de orden n implica que existe la inversa, si y solo si el rango de A es igual a n.

La matriz inversa no siempre existe, y cuando existe, esta es única.

Si A posee matriz inversa, A es regular, en caso contrario es Singular

(A · B)^-1 = A^-1 · B^-1             A · A^-1 = A^-1 · A = matriz identidad

Procedimiento para calcular la matriz inversa de orden 2 por el método Gauss- Jordan es haciendo ceros en todos los todos los elementos excepto en la diagonal principal. Se trata de convertir la matriz en la matriz identidad, al mismo tiempo que la matriz identidad se transforma en la matriz inversa de dicha matriz

DETERMINANTE

Es la asignación de un número escalar a una matriz cuadrada.

Para calcular un determinante de orden 1 es igual al número del elemento que forma la matriz de orden 1

Para calcular un determinante de orden 2 es igual al producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.

Para calcular un determinante de orden 3 se puede hacer por dos métodos:

Calculo de un determinante de orden 3 con la regla de Sarrus (solo sirve para matrices cuadradas de orden 3)

            1.- Hacemos el producto de la diagonal principal

            2.- Hacemos el producto de una paralela a la diagonal principal por el vértice opuesto

            3.- Hacemos el producto de la otra paralela a la diagonal principal por el vértice opuesto

            4.- Sumamos los tres resultados obtenidos hasta ahora.

            5.- Hacemos el producto de la diagonal secundaria

            6.- Hacemos el producto de una paralela a la diagonal secundaria por el vértice opuesto

            7.- Hacemos el producto de la otra paralela a la diagonal secundaria por el vértice opuesto

            8.- Sumamos los tres resultados obtenidos y resultado de lo restamos al otro resultado obtenido anteriormente.

El resultado obtenido al final de estos 8 pasos es el determinante.

El segundo método es por matriz de adjuntos

 

Propiedades de los determinantes

1.-   Un determinante es cero si se cumple una de las siguientes condiciones:

            1.- Todos los elementos de una fila o de una columna son nulos (ceros)

            2.- Todos los elementos de dos filas o dos columnas son iguales

            3.-Todos los elementos de una fila o columna son una combinación lineal de otra fila o columna

2.- El determinante de una matriz A es igual a determinante de su traspuesta   | A | = | A^t |

3.- El determinante de una matriz triangular, ya sea superior o inferior, el determinante es igual al producto de su diagonal

4.- Si se cambian dos filas o dos columnas entre sí, el determinante cambia de signo

5.- Si a los números de una fila, multiplicada previamente por un número real se le suma otra fila, el determinante no cambia

6.-  Si se multiplica un determinante por un número real, una fila o una columna de la matriz queda multiplicada por dicho número real.

7.- El producto de determinantes tiene la propiedad conmutativa

MENOR COMPLEMENTARIO DE UN ELEMENTO

Es el valor del determinante que se obtiene al eliminar la fila y la columna asignadas a dicho elemento

Cuando se pide un menor complementario de un elemento, eliminamos la fila y la columna de dicho elemento, y se calcula el determinante con los números restantes que forman una submatriz.

Vamos a ver el menor complementario de

   

(3 · 5) – (9 · 2) = 15 – 18 = -3

ADJUNTO DE UN ELEMENTO

Es su menor complementario con el signo que le corresponde de la matriz de signos

Matriz de signos de orden 2                    Matriz de signos de orden 3                           Matriz de signos de orden 4

En el ejemplo anterior el adjunto del elemento de le corresponde el signo menos.  Si el resultado es (-3) y se le pone delante el adjunto negativo –(-3) es +3.   Si el resultado es 3, con el adjunto es –(+3) es -3

MATRIZ DE ADJUNTOS

Es una matriz de cuyos elementos son los menores complementarios de cada elemento por el signo adjunto correspondiente.

La matriz adjunta se designa con

CALCULAR UNA MATRIZ INVERSA CON DETERMINANTES

1º Calcular el determinante de A

     Si el determinante es distinto de cero entonces si tiene inversa.

2º Calcular la matriz de adjuntos

3º Calcular la matriz transpuesta de la matriz de adjuntos

4º Dividimos la matriz transpuesta de la matriz de adjuntos dividida entre el determinante

     Para ello cada elemento se divide entre el determinante, el resultado será la matriz inversa

CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ CON DETERMINANTES

Si todos los elementos de una matriz es 0 el rango de la matriz será 0

Si tan solo uno de los elementos de la matriz es distinto de cero entonces el rango es 1 o mayor que 1

Se prueba todas las submatrices de orden 2 y se calcula su determinante, si todas tienen el determinante igual a cero entonces es de rango 1, pero si hay una sola submatriz cuyo determinante sea distinto de cero, entonces es de rango 2 o mayor que 2

Se prueba todas las submatrices de orden 3 y se calcula su determinante, si todas tienen el determinante igual a cero entonces es de rango 2, pero si hay una sola submatriz cuyo determinante distinto de cero entonces es de rango 3 o mayor que 3.  Y así sucesivamente

El rango máximo que puede tener una matriz, lo determina el orden de la submatriz cuadrada más grande que se pueda hacer dentro de la matriz, y ese orden será el rango máximo que pudiera tener.